ARC082 E - ConvexScore

問題

https://beta.atcoder.jp/contests/arc082/tasks/arc082_c

解法

解説の通りにやった。

の意味するところを考える。これは凸包が S となるような部分集合の数である。

よって求める答えは各凸包について部分集合の数を数えていけば良いが、それは難しいので、全ての部分集合から、凸包が正の面積とならない部分集合を除けば良い。

コード

use std::io;
use std::str;
use std::usize;
use std::cmp;

fn mod_pow(x: i64, mut exp: i64, modulo: i64) -> i64 {
    let mut result = 1;
    let mut cur = x;
    while exp > 0 {
        if exp & 1 == 1 {
            result = (result * cur) % modulo;
        }
        cur = (cur * cur) % modulo;
        exp >>= 1;
    }
    result
}

fn main() {
    let modulo = 998244353;
    let n = read_values::<usize>()[0];
    let (x, y) = {
        let mut x = vec![0; n];
        let mut y = vec![0; n];
        for i in 0..n {
            let v = read_values::<i64>();
            x[i] = v[0];
            y[i] = v[1];
        }
        (x, y)
    };

    let mut ans = mod_pow(2, n as i64, modulo);
    ans -= 1;
    ans -= n as i64;
    ans = (ans + modulo) % modulo;

    // 両端がそれぞれ i, j となるような線分に乗っている点の数を数える
    for i in 0..n {
        for j in (i + 1)..n {
            let dx = x[i] - x[j];
            let dy = y[i] - y[j];

            let mut count = 0;
            let mut left = i;
            let mut right = j;
            for k in 0..n {
                let kx = x[i] - x[k];
                let ky = y[i] - y[k];
                if dx * ky - kx * dy == 0 {
                    left = cmp::min(left, k);
                    right = cmp::max(right, k);
                    count += 1;
                }
            }

            // 両端が i, j でない時はスルー
            if left != i || right != j {
                continue;
            }

            // 凸包の面積が 0 であるような部分集合のサイズ
            let subset = mod_pow(2, count, modulo) - count - 1;
            ans = (ans + modulo - subset) % modulo;
        }
    }

    println!("{}", ans);
}

fn read_line() -> String {
    let stdin = io::stdin();
    let mut buf = String::new();
    stdin.read_line(&mut buf).unwrap();
    buf
}

fn read_values<T>() -> Vec<T>
    where T: std::str::FromStr,
          T::Err: std::fmt::Debug
{
    read_line()
        .split(' ')
        .map(|a| a.trim().parse().unwrap())
        .collect()
}