ARC094 D - Worst Case

解法

 x(a+1), (x-1)(a+2), ... , 2(a+x-1), a+x が全て ab より小さくなるような x、すなわち、  (x-t)(a+1+t) < ab (0 \leq t \leq x-1) となるような x の最大値を求めたい。  - ( t - \frac{x-a-1}{2} )^2 + \frac{(x+a+1)^2}{4} < ab  (0 \leq t \leq x-1) で x は a より大きいとすると、  \frac{(x+a+1)^2}{4} < ab を満たす x を求めれば良い。

コード

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///  https://qiita.com/tanakh/items/0ba42c7ca36cd29d0ac8
macro_rules! input {
    (source = $s:expr, $($r:tt)*) => {
        let mut iter = $s.split_whitespace();
        input_inner!{iter, $($r)*}
    };
    ($($r:tt)*) => {
        let mut s = {
            use std::io::Read;
            let mut s = String::new();
            std::io::stdin().read_to_string(&mut s).unwrap();
            s
        };
        let mut iter = s.split_whitespace();
        input_inner!{iter, $($r)*}
    };
}

macro_rules! input_inner {
    ($iter:expr) => {};
    ($iter:expr, ) => {};

    ($iter:expr, $var:ident : $t:tt $($r:tt)*) => {
        let $var = read_value!($iter, $t);
        input_inner!{$iter $($r)*}
    };
}

macro_rules! read_value {
    ($iter:expr, ( $($t:tt),* )) => {
        ( $(read_value!($iter, $t)),* )
    };

    ($iter:expr, [ $t:tt ; $len:expr ]) => {
        (0..$len).map(|_| read_value!($iter, $t)).collect::<Vec<_>>()
    };

    ($iter:expr, chars) => {
        read_value!($iter, String).chars().collect::<Vec<char>>()
    };

    ($iter:expr, usize1) => {
        read_value!($iter, usize) - 1
    };

    ($iter:expr, $t:ty) => {
        $iter.next().unwrap().parse::<$t>().expect("Parse error")
    };
}

fn main() {
    input!(q: usize, ab: [(usize, usize); q]);
    for &(a, b) in ab.iter() {
        let (a, b) = if a > b { (b, a) } else { (a, b) };
        if a == b {
            println!("{}", 2 * a - 2);
        } else if a + 1 == b {
            println!("{}", 2 * a - 2);
        } else {
            println!("{}", solve2(a, b));
        }
    }
}

fn solve2(a: usize, b: usize) -> usize {
    let mut x = (((a * b) as f64).sqrt() * 2.0) as usize - a - 1;
    let t = if x > a { (x - a - 1) / 2 } else { 0 };
    if (x - t) * (a + 1 + t) >= a * b {
        x -= 1;
    } else if (x - (t + 1)) * (a + 1 + (t + 1)) >= a * b {
        x -= 1;
    }
    a - 1 + x
}

CODE FESTIVAL 2018 qual B E - Game of +-

解法

 1/a (1 \leq a \leq N)を足したり引いたりして 1/lcm(1,2,3,...,N)を作る。

 lcm(1,2,3,...,N)/a(1 \leq a \leq N) を足したり引いたりして 1 を作る。

 G=1 にすることを目指すのではなく  G\equiv 1(\mod lcm(1,2,3,...,N)) にすることを目指す。

 G \equiv 1 (\mod lcm(1,2,3,...,N)) であることは  G \equiv 1 (\mod p)(2\leq p \leq N) である。

 lcm(1,2,3,...,N)/a  \equiv 0 (\mod p)(1 \leq a \leq N, 2\leq p \leq N, a \neq p) なので、各 p について独立に考えればよいということになる。

コード

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macro_rules! input {
    (source = $s:expr, $($r:tt)*) => {
        let mut iter = $s.split_whitespace();
        input_inner!{iter, $($r)*}
    };
    ($($r:tt)*) => {
        let mut s = {
            use std::io::Read;
            let mut s = String::new();
            std::io::stdin().read_to_string(&mut s).unwrap();
            s
        };
        let mut iter = s.split_whitespace();
        input_inner!{iter, $($r)*}
    };
}

macro_rules! input_inner {
    ($iter:expr) => {};
    ($iter:expr, ) => {};

    ($iter:expr, $var:ident : $t:tt $($r:tt)*) => {
        let $var = read_value!($iter, $t);
        input_inner!{$iter $($r)*}
    };
}

macro_rules! read_value {
    ($iter:expr, ( $($t:tt),* )) => {
        ( $(read_value!($iter, $t)),* )
    };

    ($iter:expr, [ $t:tt ; $len:expr ]) => {
        (0..$len).map(|_| read_value!($iter, $t)).collect::<Vec<_>>()
    };

    ($iter:expr, chars) => {
        read_value!($iter, String).chars().collect::<Vec<char>>()
    };

    ($iter:expr, usize1) => {
        read_value!($iter, usize) - 1
    };

    ($iter:expr, $t:ty) => {
        $iter.next().unwrap().parse::<$t>().expect("Parse error")
    };
}
extern crate num_bigint;
use num_bigint::BigInt;

fn solve(n: usize) -> Vec<(usize, char, usize)> {
    let mut is_prime = vec![true; n + 1];
    is_prime[0] = false;
    is_prime[1] = false;
    for i in 2..(n + 1) {
        if is_prime[i] {
            let mut cur = i * 2;
            while cur <= n {
                is_prime[cur] = false;
                cur += i;
            }
        }
    }

    let primes = (0..(n + 1))
        .filter(|&i| is_prime[i])
        .map(|p| {
            let mut cur = p;
            while cur * p <= n {
                cur *= p;
            }
            cur
        }).collect::<Vec<_>>();
    let addition = primes
        .iter()
        .map(|&prime| {
            let mut cur = 1;
            for &p in primes.iter() {
                if p == prime {
                    continue;
                }
                cur = (cur * p) % prime;
            }
            let add = cur;
            let mut cur = 0;
            let mut count = 0;
            while cur != 1 {
                cur = (cur + add) % prime;
                count += 1;
            }
            count
        }).collect::<Vec<_>>();

    let mut ans = vec![];

    let mut numerator = BigInt::from(0);
    let mut denominator = BigInt::from(1);

    let mut count = 0;
    for i in 0..primes.len() {
        let prime = primes[i];
        let add = addition[i];
        assert!(prime > add);

        let old_denominator = denominator.clone();
        denominator *= prime;
        numerator *= prime;

        if add * 2 > prime {
            let add = prime - add;
            numerator -= old_denominator * add;
            count += add;
            for _ in 0..add {
                ans.push((1, '-', prime));
            }
        } else {
            numerator += old_denominator * add;
            count += add;
            for _ in 0..add {
                ans.push((0, '+', prime));
            }
        }
    }

    let zero = BigInt::from(0);

    while numerator < zero {
        numerator += denominator.clone();
        count += 1;
        ans.push((0, '+', 1));
    }
    while numerator > denominator.clone() {
        numerator -= denominator.clone();
        count += 1;
        ans.push((1, '-', 1));
    }
    assert_eq!(count, ans.len());
    ans.sort();
    ans
}

fn main() {
    input!(n: usize);
    if n == 1 {
        println!("1");
        println!("+ 1");
        return;
    }
    let ans = solve(n);
    println!("{}", ans.len());
    for &(_, c, p) in ans.iter() {
        println!("{} {}", c, p);
    }
}

AOJ 2900: Bumpy Array

解法

 a_i, a_{i+1}, a_{i+2} と並んでいるのを [tex: a_i>a_{i+1}a_{i+1}] が成り立っている時、a_{i+1}以降の領域を自由に並べ替えても [tex:a_{i+1}a_{i+1}] も満たされるので、a_i は入れ替わらない。

a_i>a_{i+1}が満たされていない時を考える。このとき、 a_i, a_{i+1}, a_{i+2} の大小関係として次の 3 通りが考えられる。

  1. a_i < a_{i+2} < a_{i+1}
  2. a_i < a_{i+1} < a_{i+2}
  3. a_{i+2} < a_i < a_{i+1}

1番目と2番目のケースでは、a_ia_{i+1} を入れ替えることで、[tex:a_{i+1}a_{i+1}

コード

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macro_rules! input {
    (source = $s:expr, $($r:tt)*) => {
        let mut iter = $s.split_whitespace();
        input_inner!{iter, $($r)*}
    };
    ($($r:tt)*) => {
        let mut s = {
            use std::io::Read;
            let mut s = String::new();
            std::io::stdin().read_to_string(&mut s).unwrap();
            s
        };
        let mut iter = s.split_whitespace();
        input_inner!{iter, $($r)*}
    };
}

macro_rules! input_inner {
    ($iter:expr) => {};
    ($iter:expr, ) => {};

    ($iter:expr, $var:ident : $t:tt $($r:tt)*) => {
        let $var = read_value!($iter, $t);
        input_inner!{$iter $($r)*}
    };
}

macro_rules! read_value {
    ($iter:expr, ( $($t:tt),* )) => {
        ( $(read_value!($iter, $t)),* )
    };

    ($iter:expr, [ $t:tt ; $len:expr ]) => {
        (0..$len).map(|_| read_value!($iter, $t)).collect::<Vec<_>>()
    };

    ($iter:expr, chars) => {
        read_value!($iter, String).chars().collect::<Vec<char>>()
    };

    ($iter:expr, usize1) => {
        read_value!($iter, usize) - 1
    };

    ($iter:expr, $t:ty) => {
        $iter.next().unwrap().parse::<$t>().expect("Parse error")
    };
}

use std::cmp;

fn solve(mut a: Vec<i64>) -> usize {
    let n = a.len();
    let mut ans = 0;
    for i in 0..(n - 1) {
        if i % 2 == 0 && a[i] < a[i + 1] {
            if i + 2 < n && a[i + 1] > a[i + 2] && a[i] > a[i + 2] {
                a.swap(i + 1, i + 2);
            } else {
                a.swap(i, i + 1);
            }
            ans += 1;
        } else if i % 2 == 1 && a[i] > a[i + 1] {
            if i + 2 < n && a[i + 1] < a[i + 2] && a[i] < a[i + 2] {
                a.swap(i + 1, i + 2);
            } else {
                a.swap(i, i + 1);
            }
            ans += 1;
        }
    }
    ans
}

fn main() {
    input!(n: usize, a: [i64; n]);
    let b: Vec<i64> = a.iter().map(|&i| -i).collect();

    let a1 = solve(a);
    let a2 = solve(b);
    println!("{}", cmp::min(a1, a2));
}

AGC020 C - Median Sum

解法

解説の通り。

空でない部分列の数は  2^N -1 個存在するが、部分列の和が x となるような部分列の構成方法の数え上げは動的計画法 O(N^2 A) で求まる。だが、これでは間に合わない。

中央値は配列の合計の 1/2 以上になるということに気づくと、部分列の和が x となるような部分列が構成できるかどうかを判定すれば良いことになる。この DP は BitSet によって高速化出来るため、  O(N^2 A / 64) で間に合う。すごい。

コード

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/// https://qiita.com/tanakh/items/0ba42c7ca36cd29d0ac8
macro_rules! input {
    (source = $s:expr, $($r:tt)*) => {
        let mut iter = $s.split_whitespace();
        input_inner!{iter, $($r)*}
    };
    ($($r:tt)*) => {
        let mut s = {
            use std::io::Read;
            let mut s = String::new();
            std::io::stdin().read_to_string(&mut s).unwrap();
            s
        };
        let mut iter = s.split_whitespace();
        input_inner!{iter, $($r)*}
    };
}

macro_rules! input_inner {
    ($iter:expr) => {};
    ($iter:expr, ) => {};

    ($iter:expr, $var:ident : $t:tt $($r:tt)*) => {
        let $var = read_value!($iter, $t);
        input_inner!{$iter $($r)*}
    };
}

macro_rules! read_value {
    ($iter:expr, ( $($t:tt),* )) => {
        ( $(read_value!($iter, $t)),* )
    };

    ($iter:expr, [ $t:tt ; $len:expr ]) => {
        (0..$len).map(|_| read_value!($iter, $t)).collect::<Vec<_>>()
    };

    ($iter:expr, chars) => {
        read_value!($iter, String).chars().collect::<Vec<char>>()
    };

    ($iter:expr, usize1) => {
        read_value!($iter, usize) - 1
    };

    ($iter:expr, $t:ty) => {
        $iter.next().unwrap().parse::<$t>().expect("Parse error")
    };
}

fn main() {
    input!(n: usize, a: [usize; n]);
    let sum: usize = a.iter().sum();
    let mut dp = bitset::BitSet::new(sum + 1);
    dp.set(0, true);
    for i in 0..n {
        let pd = dp.shift_left(a[i]);
        dp |= pd;
    }

    for i in ((sum + 1) / 2)..(sum + 1) {
        if dp.get(i) {
            println!("{}", i);
            return;
        }
    }
}

pub mod bitset {
    use std::ops::{BitOrAssign, Shl};
    const ONE_VALUE_LENGTH: usize = 60;
    const MAXIMUM: u64 = (1 << ONE_VALUE_LENGTH) - 1;

    pub fn get_bit_position(index: usize) -> (usize, usize) {
        let data_index = index / ONE_VALUE_LENGTH;
        let bit_index = index % ONE_VALUE_LENGTH;
        (data_index, bit_index)
    }

    #[derive(PartialEq, Clone, Debug)]
    pub struct BitSet {
        data: Vec<u64>,
    }

    impl BitOrAssign for BitSet {
        fn bitor_assign(&mut self, rhs: Self) {
            if self.data.len() < rhs.data.len() {
                self.data.resize(rhs.data.len(), 0);
            }
            let n = if self.data.len() > rhs.data.len() {
                rhs.data.len()
            } else {
                self.data.len()
            };
            for i in 0..n {
                assert!(self.data[i] <= MAXIMUM);
                assert!(rhs.data[i] <= MAXIMUM);
                self.data[i] |= rhs.data[i];
            }
        }
    }

    impl Shl<usize> for BitSet {
        type Output = Self;
        fn shl(self, rhs: usize) -> Self {
            self.shift_left(rhs)
        }
    }

    impl BitSet {
        pub fn new(n: usize) -> Self {
            let size = (n + ONE_VALUE_LENGTH - 1) / ONE_VALUE_LENGTH;
            BitSet {
                data: vec![0; size],
            }
        }

        pub fn new_from(value: u64) -> Self {
            BitSet { data: vec![value] }
        }

        pub fn set(&mut self, index: usize, value: bool) {
            let (data_index, bit_index) = get_bit_position(index);
            assert!(self.data.len() > data_index);
            if value {
                self.data[data_index] |= 1 << bit_index;
            } else {
                let tmp = MAXIMUM ^ (1 << bit_index);
                self.data[data_index] &= tmp;
            }
        }

        pub fn get(&mut self, index: usize) -> bool {
            let (data_index, bit_index) = get_bit_position(index);
            assert!(self.data.len() > data_index);
            self.data[data_index] & (1 << bit_index) != 0
        }

        pub fn shift_left(&self, shift: usize) -> Self {
            let mut next_data = Vec::new();
            let prefix_empty_count = shift / ONE_VALUE_LENGTH;
            let shift_count = shift % ONE_VALUE_LENGTH;
            for _ in 0..prefix_empty_count {
                next_data.push(0);
            }

            let mut from_previous = 0;
            let room = ONE_VALUE_LENGTH - shift_count;
            for &data in self.data.iter() {
                let overflow = (data >> room) << room;
                let rest = data - overflow;
                let value = (rest << shift_count) + from_previous;
                assert!(value <= MAXIMUM);
                next_data.push(value);
                from_previous = overflow >> room;
            }
            if from_previous > 0 {
                next_data.push(from_previous);
            }
            BitSet { data: next_data }
        }
    }
}

みんなのプロコン2018 決勝 A- Uncommon

解法

ある整数 i について配列内の i と互いに素な整数の数を数えるのは大変そうなので、i と互いに素でない数を数えることにする。

i を素因数分解し、例えば素因数が p, q, r だったとき、配列 a に含まれる i と互いに素でないでない整数の数は以下のように求められる。

(配列 a に含まれる i と互いに素でないでない整数の数)
= (配列 a に含まれる p の倍数の数) + (配列 a に含まれる q の倍数の数) + (配列 a に含まれる r の倍数の数)
  - (配列 a に含まれる p*q の倍数の数) - (配列 a に含まれる q*r の倍数の数) - (配列 a に含まれる r*p の倍数の数)
  + (配列 a に含まれる p*q*r の倍数の数)

配列 a 内の中にある x の倍数の数をカウントしたいが、 \sum_{k=1}^N 1/k O(\log N) なので、以下のような愚直なループで求まる。

for x in 2..n:
  cur = x
  while cur <= max:
    sum[x] += count[cur]
    cur += x

コード

/// Thank you tanakh!!!
/// https://qiita.com/tanakh/items/0ba42c7ca36cd29d0ac8
macro_rules! input {
    (source = $s:expr, $($r:tt)*) => {
        let mut iter = $s.split_whitespace();
        input_inner!{iter, $($r)*}
    };
    ($($r:tt)*) => {
        let mut s = {
            use std::io::Read;
            let mut s = String::new();
            std::io::stdin().read_to_string(&mut s).unwrap();
            s
        };
        let mut iter = s.split_whitespace();
        input_inner!{iter, $($r)*}
    };
}

macro_rules! input_inner {
    ($iter:expr) => {};
    ($iter:expr, ) => {};

    ($iter:expr, $var:ident : $t:tt $($r:tt)*) => {
        let $var = read_value!($iter, $t);
        input_inner!{$iter $($r)*}
    };
}

macro_rules! read_value {
    ($iter:expr, ( $($t:tt),* )) => {
        ( $(read_value!($iter, $t)),* )
    };

    ($iter:expr, [ $t:tt ; $len:expr ]) => {
        (0..$len).map(|_| read_value!($iter, $t)).collect::<Vec<_>>()
    };

    ($iter:expr, chars) => {
        read_value!($iter, String).chars().collect::<Vec<char>>()
    };

    ($iter:expr, usize1) => {
        read_value!($iter, usize) - 1
    };

    ($iter:expr, $t:ty) => {
        $iter.next().unwrap().parse::<$t>().expect("Parse error")
    };
}

fn get_primes(n: usize) -> Vec<usize> {
    let mut is_prime = vec![true; n + 1];
    is_prime[0] = false;
    is_prime[1] = false;
    let mut primes = vec![];
    for i in 2..(n + 1) {
        if is_prime[i] {
            primes.push(i);
            let mut pos = i * 2;
            while pos < is_prime.len() {
                is_prime[pos] = false;
                pos += i;
            }
        }
    }
    primes
}

use std::collections::BTreeSet;

fn main() {
    input!(n: usize, m: usize, a: [usize; n]);

    let primes = get_primes(350);
    let mut divisors = vec![vec![]; m + 1];
    let mut set = BTreeSet::new();
    for i in 1..(m + 1) {
        let mut a = i;
        for &prime in primes.iter() {
            if a % prime == 0 {
                divisors[i].push(prime);
                set.insert(prime);
                while a % prime == 0 {
                    a /= prime;
                }
            }
            if prime * prime > a {
                break;
            }
        }
        if a > 1 {
            divisors[i].push(a);
            set.insert(a);
        }
    }

    let max: usize = *a.iter().max().unwrap();
    let mut a_count = vec![0; max + 1];
    for &a in a.iter() {
        a_count[a] += 1;
    }

    let mut divide_count = vec![0; m + 1];
    for i in 2..(m + 1) {
        let mut cur = i;
        let mut count = 0;
        while cur <= max {
            count += a_count[cur];
            cur += i;
        }
        divide_count[i] = count;
    }

    for i in 1..(m + 1) {
        let divisors = &divisors[i];
        let n = divisors.len();
        let mut ans: i64 = 0;
        for mask in 1..(1 << n) {
            let mut count_ones = 0;
            let mut t = 1;
            for i in 0..n {
                if mask & (1 << i) != 0 {
                    t *= divisors[i];
                    count_ones += 1;
                }
            }
            let sum = divide_count[t] as i64;
            let sum = if count_ones % 2 == 1 { sum } else { -sum };
            ans += sum;
        }
        println!("{}", a.len() as i64 - ans);
    }
}

AtCoder Regular Contest 101 D - Median of Medians

解法

完全に解法の通り。

  1. 全ての連続部分列のうち、中央値が x 以上であるものがいくつあるかを考える問題になる。
  2. 数列の中央値が x 以上である。 => 数列の各要素を x 以上なら 1 そうでなければ -1 に置き換えた時に数列の和が 0 以上である。
  3. 我が 0 以上になる連続部分列の数を求めたい。 => 累積和をとって転倒数を調べれば良い(これすごく頭いい変形だと思うけど典型っぽい)

コード

/// Thank you tanakh!!!
/// https://qiita.com/tanakh/items/0ba42c7ca36cd29d0ac8
macro_rules! input {
    (source = $s:expr, $($r:tt)*) => {
        let mut iter = $s.split_whitespace();
        input_inner!{iter, $($r)*}
    };
    ($($r:tt)*) => {
        let mut s = {
            use std::io::Read;
            let mut s = String::new();
            std::io::stdin().read_to_string(&mut s).unwrap();
            s
        };
        let mut iter = s.split_whitespace();
        input_inner!{iter, $($r)*}
    };
}

macro_rules! input_inner {
    ($iter:expr) => {};
    ($iter:expr, ) => {};

    ($iter:expr, $var:ident : $t:tt $($r:tt)*) => {
        let $var = read_value!($iter, $t);
        input_inner!{$iter $($r)*}
    };
}

macro_rules! read_value {
    ($iter:expr, ( $($t:tt),* )) => {
        ( $(read_value!($iter, $t)),* )
    };

    ($iter:expr, [ $t:tt ; $len:expr ]) => {
        (0..$len).map(|_| read_value!($iter, $t)).collect::<Vec<_>>()
    };

    ($iter:expr, chars) => {
        read_value!($iter, String).chars().collect::<Vec<char>>()
    };

    ($iter:expr, usize1) => {
        read_value!($iter, usize) - 1
    };

    ($iter:expr, $t:ty) => {
        $iter.next().unwrap().parse::<$t>().expect("Parse error")
    };
}

use std::collections::{BTreeMap, BTreeSet};
use std::ops::{AddAssign, Sub};

fn main() {
    input!(n: usize, a: [i64; n]);

    let mut ok = 0;
    let mut ng = 1e10 as i64;
    while ng - ok > 1 {
        let x = (ng + ok) / 2;
        let a = a
            .iter()
            .map(|&a| if a < x { -1 } else { 1 })
            .collect::<Vec<_>>();
        let mut sum = vec![0; n + 1];
        for i in 0..n {
            sum[i + 1] = sum[i] + a[i];
        }
        let mut set = BTreeSet::new();
        for i in 0..(n + 1) {
            set.insert(sum[i]);
        }
        let mut map = BTreeMap::new();
        for (i, &x) in set.iter().enumerate() {
            map.insert(x, i);
        }
        let mut compact = vec![0; n + 1];
        for i in 0..(n + 1) {
            compact[i] = *map.get(&sum[i]).unwrap();
        }

        let m = map.len();
        let mut ans = 0;
        let mut bit = FenwickTree::new(m, 0);
        for i in 0..(n + 1) {
            ans += bit.sum_one(compact[i] + 1);
            bit.add(compact[i], 1);
        }

        let total = n * (n - 1) / 2 + n;
        let half = (total + 1) / 2;
        if ans >= half {
            ok = x;
        } else {
            ng = x;
        }
    }
    println!("{}", ok);
}

pub struct FenwickTree<T> {
    n: usize,
    data: Vec<T>,
    init: T,
}

impl<T: Copy + AddAssign + Sub<Output = T>> FenwickTree<T> {
    /// Constructs a new `FenwickTree`. The size of `FenwickTree` should be specified by `size`.
    pub fn new(size: usize, init: T) -> FenwickTree<T> {
        FenwickTree {
            n: size + 1,
            data: vec![init; size + 1],
            init: init,
        }
    }

    pub fn add(&mut self, k: usize, value: T) {
        let mut x = k;
        while x < self.n {
            self.data[x] += value;
            x |= x + 1;
        }
    }

    /// Returns a sum of range `[l, r)`
    pub fn sum(&self, l: usize, r: usize) -> T {
        self.sum_one(r) - self.sum_one(l)
    }

    /// Returns a sum of range `[0, k)`
    pub fn sum_one(&self, k: usize) -> T {
        if k >= self.n {
            panic!("");
        }

        let mut result = self.init;
        let mut x = k as i32 - 1;
        while x >= 0 {
            result += self.data[x as usize];
            x = (x & (x + 1)) - 1;
        }

        result
    }
}

lowlink, 橋や関節点について練習

lowlink や橋や関節点について、いくつか問題を解いたのでリンクを貼っておく。

lowlink の説明

kagamiz.hatenablog.com

kagamiz 先生による有名記事。大変わかりやすい。