Codeforces Round #363 Div2 E: LRU

問題

http://codeforces.com/contest/699/problem/E

N 個のビデオがあり、ビデオ i は の確率で選択される。キャッシュは最近選ばれたビデオを K 個まで記憶しておくことができ、K 個キャッシュした状態でキャッシュに含まれていないビデオが選択された時、キャッシュの中で最も古いビデオを削除する。 回選択した後、各ビデオがキャッシュに残っている確率を出力せよ。

解法

後ろから考える。 回選択した後キャッシュはK個埋まっていると考える（もちろん与えられる p の値によっては確実に K 個埋まらない場合もある）。K 個目のビデオが選択される前もキャッシュがK個埋まっている場合、最も古いビデオが捨てられるが、どのビデオが捨てられるか無視すると、K-1 個キャッシュが埋まっている状態と同じである。つまり、キャッシュの中身がどのように遷移しようが、最後に選ばれた K 種類のビデオだけが答えに影響する。よって問題を次のように言い換えることができる。

「K 個のビデオが選ばれるまでビデオを選択し続ける時、ビデオ i が K 個の中に含まれている確率を求めよ」

これは bitDP で解ける。ビデオ i が集合に取り込まれる遷移を全て足しあわせておくと答えになる。

コード

import java.io.IOException;
import java.io.InputStream;
import java.io.OutputStream;
import java.io.PrintWriter;
import java.util.NoSuchElementException;

public class E {
  private static class Task {
    void solve(FastScanner in, PrintWriter out) {
      int N = in.nextInt();
      int K = in.nextInt();
      double[] P = new double[N];
      for (int i = 0; i < N; i++) P[i] = in.nextDouble();

      double[] ans = new double[N];
      double[] dp = new double[1 << N];
      dp[0] = 1.0;
      for (int mask = 1; mask < (1 << N); mask++) {
        if (Integer.bitCount(mask) > K) continue;

        // mask に含まれないビデオが選ばれる確率
        double othersP = 0.0;
        for (int j = 0; j < N; j++)
          if ((mask & (1 << j)) == 0) othersP += P[j];

        for (int j = 0; j < N; j++) {
          if (P[j] == 0.0) continue;//ゼロ除算回避
          if ((mask & (1 << j)) == 0) continue;

          double p = P[j] / (othersP + P[j]);//ビデオ j が選ばれて mask が形成される確率
          int prevMask = mask - (1 << j);
          dp[mask] += dp[prevMask] * p;
          ans[j] += dp[prevMask] * p;
        }
      }

      for (int i = 0; i < N; i++) out.print(ans[i] + " ");
      out.println();
    }
  }

  // Template
  public static void main(String[] args) {
    OutputStream outputStream = System.out;
    FastScanner in = new FastScanner();
    PrintWriter out = new PrintWriter(outputStream);
    Task solver = new Task();
    solver.solve(in, out);
    out.close();
  }
  private static class FastScanner {
    private final InputStream in = System.in;
    private final byte[] buffer = new byte[1024];
    private int ptr = 0;
    private int bufferLength = 0;

    private boolean hasNextByte() {
      if (ptr < bufferLength) {
        return true;
      } else {
        ptr = 0;
        try {
          bufferLength = in.read(buffer);
        } catch (IOException e) {
          e.printStackTrace();
        }
        if (bufferLength <= 0) {
          return false;
        }
      }
      return true;
    }

    private int readByte() {
      if (hasNextByte()) return buffer[ptr++];
      else return -1;
    }

    private static boolean isPrintableChar(int c) {
      return 33 <= c && c <= 126;
    }

    private void skipUnprintable() {
      while (hasNextByte() && !isPrintableChar(buffer[ptr])) ptr++;
    }

    boolean hasNext() {
      skipUnprintable();
      return hasNextByte();
    }

    public String next() {
      if (!hasNext()) throw new NoSuchElementException();
      StringBuilder sb = new StringBuilder();
      int b = readByte();
      while (isPrintableChar(b)) {
        sb.appendCodePoint(b);
        b = readByte();
      }
      return sb.toString();
    }

    long nextLong() {
      if (!hasNext()) throw new NoSuchElementException();
      long n = 0;
      boolean minus = false;
      int b = readByte();
      if (b == '-') {
        minus = true;
        b = readByte();
      }
      if (b < '0' || '9' < b) {
        throw new NumberFormatException();
      }
      while (true) {
        if ('0' <= b && b <= '9') {
          n *= 10;
          n += b - '0';
        } else if (b == -1 || !isPrintableChar(b)) {
          return minus ? -n : n;
        } else {
          throw new NumberFormatException();
        }
        b = readByte();
      }
    }

    double nextDouble() {
      return Double.parseDouble(next());
    }

    double[] nextDoubleArray(int n) {
      double[] array = new double[n];
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        array[i] = nextDouble();
      }
      return array;
    }

    double[][] nextDoubleMap(int n, int m) {
      double[][] map = new double[n][];
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        map[i] = nextDoubleArray(m);
      }
      return map;
    }

    public int nextInt() {
      return (int) nextLong();
    }

    public int[] nextIntArray(int n) {
      int[] array = new int[n];
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        array[i] = nextInt();
      }
      return array;
    }
  }
}