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CodeChef Snackdown 2016 : Online Elimination Round - Jealous Numbers

問題

1000 以下の数が N 個与えられるので、部分集合の中の任意の2つが互いに素になるように部分集合を作るとき、最大の部分集合の数を答えよ。

解法

NUMSET - Editorial - CodeChef Discuss
uwiさんに聞いた。

すべての数は 31 以下の素数と、32以上の素数 0〜1 個からなる。
ルール上、1と素数のべき乗は無条件に含んで良いはずである。

31以下の素数のみからなる場合、素因数の構成をビットマスクに持って bitDP する。

32以上の素数を含む場合、その素数 p について操作しながら遷移させていけば良い。

コード

import java.io.IOException;
import java.io.InputStream;
import java.io.OutputStream;
import java.io.PrintWriter;
import java.util.*;

public class NUMSET {
  private static class Task {
    final int[] primes = new int[]{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31};
    int P = primes.length;

    int maximize(int[] A) {
      ArrayList<Integer> smalls = new ArrayList<>();// 31以下の素因数のみからなる合成数の、素因数のビットマスク
      HashMap<Integer, ArrayList<Integer>> larges = new HashMap<>();//32以上の素数を素因数に含む数について、32以上の素数をキーにして、ビットマスクを持っておく

      //素数のべき乗と1については無条件で含んで良い
      int used = 0;
      int cnt = 0;
      for (int a : A) {
        if (a == 1) {
          cnt++;
          continue;
        }
        int mask = 0;
        for (int i = 0; i < primes.length; i++) {
          if (a % primes[i] == 0) {
            mask |= (1 << i);
            while (a % primes[i] == 0) a /= primes[i];
          }
        }
        if (a == 1) {
          if (Integer.bitCount(mask) == 1) {
            if ((used & mask) == 0) {
              used |= mask;
              cnt++;
            }
          } else {
            smalls.add(mask);
          }
        } else {
          if (!larges.containsKey(a)) larges.put(a, new ArrayList<>());
          larges.get(a).add(mask);
        }
      }

      //dp[mask] := 使用した素因数のビットマスクが mask のときのグループの最大数
      int[] dp = new int[1 << P];
      dp[used] = cnt;

      //まずは31以下の素因数からのみなる数を見て遷移させていく
      ArrayDeque<Integer> deque = new ArrayDeque<>();
      deque.add(used);
      while (!deque.isEmpty()) {
        int v = deque.poll();
        for (int u : smalls) {
          if ((v & u) != 0) continue;
          if (dp[v | u] < dp[v] + 1) {
            dp[v | u] = dp[v] + 1;
            deque.add(v | u);
          }
        }
      }

      //32以上の素数を持つ数についてみる。この時、同じ素数を持つ数を使った遷移は1回しかできないことに注意しながらやる
      HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
      for (Map.Entry<Integer, ArrayList<Integer>> e : larges.entrySet()) {
        ArrayList<Integer> masks = e.getValue();
        for (int mask : masks) {
          for (int i = 0; i < (1 << P); i++) {
            if ((mask & i) != 0) continue;
            if (map.containsKey(i | mask) && map.get(i | mask) >= dp[i] + 1) continue;
            map.put(i | mask, dp[i] + 1);
          }
        }
        for (Map.Entry<Integer, Integer> m : map.entrySet()) {
          int mask = m.getKey();
          dp[mask] = Math.max(dp[mask], m.getValue());
        }
        map.clear();
      }

      int max = 0;
      for (int d : dp) max = Math.max(max, d);
      return max;
    }

    //ナイーブ
    int gcd(int x, int y) {
      return y > 0 ? gcd(y, x % y) : x;
    }
    int naive(int[] A) {
      int N = A.length;

      int max = 0;
      for (int mask = 0; mask < (1 << N); mask++) {
        if (Integer.bitCount(mask) < max) continue;
        boolean ok = true;
        check:
        for (int i = 0; i < N; i++) {
          if ((mask & (1 << i)) == 0) continue;
          for (int j = i + 1; j < N; j++) {
            if ((mask & (1 << j)) == 0) continue;
            if (gcd(A[i], A[j]) > 1) {
              ok = false;
              break check;
            }
          }
        }
        if (ok) {
          max = Math.max(Integer.bitCount(mask), max);
        }
      }
      return max;
    }

    void solve(FastScanner in, PrintWriter out) {
      int T = in.nextInt();
      for (; T > 0; T--) {
        int N = in.nextInt();
        int[] A = in.nextIntArray(N);
        out.println(maximize(A));
      }
    }
  }

  // Template
  public static void main(String[] args) {
    OutputStream outputStream = System.out;
    FastScanner in = new FastScanner();
    PrintWriter out = new PrintWriter(outputStream);
    Task solver = new Task();
    solver.solve(in, out);
    out.close();
  }
  private static class FastScanner {
    private final InputStream in = System.in;
    private final byte[] buffer = new byte[1024];
    private int ptr = 0;
    private int bufferLength = 0;

    private boolean hasNextByte() {
      if (ptr < bufferLength) {
        return true;
      } else {
        ptr = 0;
        try {
          bufferLength = in.read(buffer);
        } catch (IOException e) {
          e.printStackTrace();
        }
        if (bufferLength <= 0) {
          return false;
        }
      }
      return true;
    }

    private int readByte() {
      if (hasNextByte()) return buffer[ptr++];
      else return -1;
    }

    private static boolean isPrintableChar(int c) {
      return 33 <= c && c <= 126;
    }

    private void skipUnprintable() {
      while (hasNextByte() && !isPrintableChar(buffer[ptr])) ptr++;
    }

    boolean hasNext() {
      skipUnprintable();
      return hasNextByte();
    }

    public String next() {
      if (!hasNext()) throw new NoSuchElementException();
      StringBuilder sb = new StringBuilder();
      int b = readByte();
      while (isPrintableChar(b)) {
        sb.appendCodePoint(b);
        b = readByte();
      }
      return sb.toString();
    }

    long nextLong() {
      if (!hasNext()) throw new NoSuchElementException();
      long n = 0;
      boolean minus = false;
      int b = readByte();
      if (b == '-') {
        minus = true;
        b = readByte();
      }
      if (b < '0' || '9' < b) {
        throw new NumberFormatException();
      }
      while (true) {
        if ('0' <= b && b <= '9') {
          n *= 10;
          n += b - '0';
        } else if (b == -1 || !isPrintableChar(b)) {
          return minus ? -n : n;
        } else {
          throw new NumberFormatException();
        }
        b = readByte();
      }
    }

    double nextDouble() {
      return Double.parseDouble(next());
    }

    double[] nextDoubleArray(int n) {
      double[] array = new double[n];
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        array[i] = nextDouble();
      }
      return array;
    }

    double[][] nextDoubleMap(int n, int m) {
      double[][] map = new double[n][];
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        map[i] = nextDoubleArray(m);
      }
      return map;
    }

    public int nextInt() {
      return (int) nextLong();
    }

    public int[] nextIntArray(int n) {
      int[] array = new int[n];
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        array[i] = nextInt();
      }
      return array;
    }
  }
}